\documentclass{article}

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\author{QSH}
\title{\textbf{基于NMPC的氢电混合无人机能量管理控制算法详解}}
\date{\today}

\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents
\newpage

\section{控制问题概述}
本文档旨在详细阐述一种应用于氢电混合动力无人机的非线性模型预测控制（NMPC）能量管理策略。该策略的核心目标是在满足无人机实时功率需求的前提下，通过优化协调氢燃料电池系统与锂电池组之间的功率分配，实现飞行全过程中的多目标优化。具体优化目标包括：
\begin{enumerate}
    \item \textbf{最小化等效燃料消耗}：降低氢气的使用成本。
    \item \textbf{减缓部件老化}：延长锂电池的循环寿命和燃料电池的性能寿命。
\end{enumerate}
控制器通过在线求解一个有限时域内的最优控制问题，得到当前时刻最优的控制指令，并滚动执行，从而实现对系统未来状态的预测性控制。

\section{模型预测控制框架}
\subsection{状态量、控制量与扰动}
\subsubsection{状态向量 (State Vector) $x$}
状态向量包含了描述整个能量系统长期特性的关键变量。
$$ x = \begin{bmatrix} SOC \\ P_{fc} \\ \alpha_{decay} \end{bmatrix} $$
各状态变量的物理含义如下：
\begin{itemize}
    \item \textbf{SOC}: 锂电池的荷电状态（State of Charge），反映电池剩余能量。
    \item \textbf{$P_{fc}$}: 燃料电池系统的实际输出功率（Actual Fuel Cell Power），单位(W)。由于物理系统的惯性，它无法瞬时响应功率指令。
    \item \textbf{$\alpha_{decay}$}: 燃料电池的老化状态指示因子（Aging Factor），量化燃料电池的性能衰退程度。
\end{itemize}

\subsubsection{控制向量 (Control Vector) $u$}
控制向量是NMPC优化器在每一个控制周期需要求解的决策变量。
$$ u = [I_{fc,cmd}] $$
其物理含义为：
\begin{itemize}
    \item \textbf{$I_{fc,cmd}$}: 燃料电池的指令电流（Fuel Cell Current Command），单位(A)。这是控制器发给燃料电池系统底层驱动的直接指令。
\end{itemize}

\subsubsection{测量扰动 (Measured Disturbance) $d$}
$$ d = [P_{load}] $$
\begin{itemize}
    \item \textbf{$P_{load}$}: 无人机当前时刻的总功率需求，单位(W)。它被视为一个可测量的外部扰动，输入到预测模型中。
\end{itemize}

\subsection{离散时间状态空间模型}
系统的动态行为由一组非线性差分方程描述，其通用形式为：
$$ x^{(k+1)} = f(x^{(k)}, u^{(k)}, d^{(k)}) $$
其中，$k$ 代表当前离散时间步。以下是每个状态变量的具体更新方程。

\subsubsection{燃料电池实际功率 $P_{fc}$ 的状态更新}
燃料电池系统（尤其是其辅助系统）的响应存在延迟，采用一阶惯性环节来模拟这个动态过程。
$$ P_{fc}^{(k+1)} = P_{fc}^{(k)} + \frac{\Delta t}{\tau_{fc}} \left( P_{fc,cmd}^{(k)} - P_{fc}^{(k)} \right) $$
\begin{itemize}
    \item $\Delta t$: 系统采样时间 (s)。
    \item $\tau_{fc}$: 燃料电池系统的响应时间常数 (s)。
    \item $P_{fc,cmd}^{(k)}$: 由控制器输出 $u^{(k)}$ 计算得到的燃料电池指令功率 (W)。其详细计算过程见下一节。
\end{itemize}

\subsubsection{锂电池SOC的状态更新}
\begin{enumerate}
    \item \textbf{功率平衡}: 锂电池负责动态补足或吸收功率差额。
    $$ P_{bat}^{(k)} = P_{load}^{(k)} - P_{fc}^{(k+1)} $$
    \item \textbf{电流计算}: 采用理想电池模型估算电流。
    $$ I_{bat}^{(k)} = \frac{P_{bat}^{(k)}}{V_{oc}(SOC^{(k)})} $$
    \item \textbf{安时积分}: 使用库仑计数法更新SOC。
    $$ SOC^{(k+1)} = SOC^{(k)} - \frac{I_{bat}^{(k)} \cdot \Delta t}{C_{As}} $$
\end{enumerate}
\begin{itemize}
    \item $V_{oc}(\cdot)$: 电池开路电压与SOC的函数关系，通过查找表获得。
    \item $C_{As}$: 电池的总容量 (A·s)。
\end{itemize}

\subsubsection{燃料电池老化因子 $\alpha_{decay}$ 的状态更新}
采用一个简化的经验模型，将老化速率与输出功率关联起来。
$$ \alpha_{decay}^{(k+1)} = \alpha_{decay}^{(k)} + k_d \cdot P_{fc}^{(k+1)} \cdot \Delta t $$
\begin{itemize}
    \item $k_d$: 老化速率经验系数。
\end{itemize}

\subsection{核心：燃料电池指令功率的计算}
指令功率 $P_{fc,cmd}^{(k)}$ 的计算基于您提供的PDF文档中的电化学模型，具体步骤如下：
\begin{enumerate}
    \item \textbf{电流密度计算}:
    $$ i^{(k)} = \frac{I_{fc,cmd}^{(k)}}{A_{fc}} $$
    \item \textbf{三大极化损失计算}:
    \begin{itemize}
        \item 活化极化损失:
        $$ V_{act}^{(k)} = \frac{R \cdot T}{a \cdot F} \ln\left(\frac{i^{(k)} + i_{internal}}{i_0}\right) $$
        \item 欧姆极化损失:
        $$ V_{ohmic}^{(k)} = i^{(k)} \cdot R_{ohmic,area} $$
        \item 浓差极化损失:
        $$ V_{conc}^{(k)} = \frac{R \cdot T}{n \cdot F} \ln\left(\frac{i_L}{i_L - i^{(k)}}\right) $$
    \end{itemize}
    \item \textbf{电堆总电压与总功率计算}:
    $$ V_{stack}^{(k)} = N_{cells} \cdot \left(E_r - V_{act}^{(k)} - V_{ohmic}^{(k)} - V_{conc}^{(k)}\right) $$
    $$ P_{fc,cmd}^{(k)} = V_{stack}^{(k)} \cdot I_{fc,cmd}^{(k)} $$
\end{enumerate}
\textbf{模型参数}：$A_{fc}, R, T, a, F, i_{internal}, i_0, R_{ohmic,area}, n, i_L, N_{cells}, E_r$ 分别代表电极面积、气体常数、温度、电荷转移系数、法拉第常数、内部电流密度、交换电流密度、面积比电阻、转移电子数、极限电流密度、电堆数量和能斯特电压。

\section{优化目标：成本函数}
NMPC求解器在每个控制周期优化的目标是最小化预测时域（长度为$p$）内的累积成本 $J$。
$$ \min_{u_k, ..., u_{k+c-1}} J = \sum_{j=0}^{p-1} L(x^{(k+j|k)}, u^{(k+j|k)}) $$
其中，$L(\cdot)$ 是单步成本函数，由以下三部分组成：
$$ L(x, u) = C_{H_2} + C_{bat,loss} + C_{fc,age} $$

\subsection{氢气消耗成本 $C_{H_2}$}
$$ C_{H_2} = p_{H_2} \cdot m_{H_2} = p_{H_2} \cdot (k_{H_2} \cdot P_{fc} \cdot \Delta t) $$
该项将消耗的氢气质量 $m_{H_2}$ 乘以氢气单价 $p_{H_2}$，其中氢耗速率与输出功率成正比，比例系数为 $k_{H_2}$。

\subsection{锂电池寿命损耗成本 $C_{bat,loss}$}
$$ C_{bat,loss} = \frac{C_{bat,total}}{N_{cycle}} \cdot |\Delta SOC| $$
该项将电池的总重置成本 $C_{bat,total}$ 分摊到其额定循环寿命 $N_{cycle}$ 中的每一次SOC变化量 $|\Delta SOC|$ 上，以惩罚剧烈的充放电。

\subsection{燃料电池老化成本 $C_{fc,age}$}
$$ C_{fc,age} = \frac{C_{fc,total}}{\alpha_{max}} \cdot \Delta \alpha_{decay} $$
该项将燃料电池的总重置成本 $C_{fc,total}$ 分摊到其总老化裕量 $\alpha_{max}$ 中的每一次老化增量 $\Delta \alpha_{decay}$ 上，以惩罚导致燃料电池快速衰减的工作模式。

\section{约束条件}
为保证系统安全、稳定运行，NMPC在求解过程中必须满足以下硬约束：
\begin{itemize}
    \item \textbf{状态量约束}:
    $$ SOC_{min} \le SOC(k) \le SOC_{max} $$
    $$ P_{fc,min} \le P_{fc}(k) \le P_{fc,max} $$
    $$ 0 \le \alpha_{decay}(k) \le \alpha_{max} $$
    \item \textbf{控制量约束}:
    $$ 0 \le I_{fc,cmd}(k) \le I_{fc,max} $$
\end{itemize}

\end{document}
